其次，若m=k-1时，假定对于N(k-1)=(3^(k-1)-1)/2个球的情况我们都有解法。
　　现在来考虑m=k的情况。
　　第一次称取[3^(k-1)-1]个球放在天平天平两端，则:如果平衡，获得[3^(k-1)-1]个标准球，坏球在剩下的[3^(k-1)+1]/2个中。由于[3^(k-1)-1]>=[3^(k-1)+1]/2，（k>=2),即已知的标准球数不小于未知球数?所以在以后的测量中就相当于任意给定标准球的情况，由前面的引理二可知对于[3^(k-1)+1]/2的情况(k-1)次可解。如果不平衡，大的那方记做A,小的那方记作B。标准球记做C。则现在我们有[3^(k-1)-1]/2个A球和B球，有[3^(k-1)+1]/2个C球。第二次用3^(k-2)个A球加[3^(k-2)-1]/2个B球放左边。3^(k-2)个C球加[3^(k-2)-1]/2个A球放右边。如果左边大于右边，则说明是在左边的3^(k-2)个A球中质量大的为坏球；如果左边等于右边，则说明是在第二次称时没用的3^(k-2)个B球中质量轻的为坏球。以上两种情况都可以再用三分法(k-2)次解决，加上前两次共k次解决。如果左边小于右边，则坏球在左边的[3^(k-2)-1]/2个B球中或在右边的同样数目的A球中。此时的情况和第二次开始时类似（只不过是k-1变成k-2)。用相同的办法一直往下追溯到一个A球和一个B球一次区分的情况，这时只需拿A球和标准球比较以下就行了。因此在这种情况下也是可以最终用k次解决的。
　　由以上两步加上数学归纳法知，对于N(m)=(3^m-1)/2的情况，称m次是可以称出来的。

由这个解法加上前面所给出的上界Nmax(m)<=(3^m-1)/2，知称m次能解决的最大的小球数Nmax(m)=(3^m-1)/2。
　　
　　有兴趣的人可以验证一下m=3,N=13的情况----该情况已经被反复拿出来讨论过了。
　　
　　如果要求小球轻重必须判决，与前面的不需判轻重的情况类似的定义和推导，可得：
　　
　　Nmax(k)=(3^k-3)/2.
　　N1max(k)=(3^k-1)/2.
　　
　　意外的发现只比前面不分轻重的情况分别小一！证明过程由于有太多类似，故在此略去，仅举一个例子来说明。
　　
　　k=3,Nmax=12 共12个球
　　第一次： 4A vs 4B 剩下4C 如果相等，则A和B都是标准球。
　　第二次 C1+A1 vs C2+C3
　　如果相等，则坏球为C4，再用C4与标准球比较一次即可。如果不等，再比较C2和C3，可以这两次结果判断C1,C2,C3中哪个是坏球和轻重。
　　
　　第一次如果不等，不妨设4A>4B.此时C球都是标准球。
　　第二次 A1+B2+B3+B4 vs B1+C1+C2+C3
　　如果相等，则坏球在A2,A3,A4中，且重。再比较A2和A3即知。如果左边小于右边，则在B2,B3,B4中且轻。再比较B2和B3即可。如果左边大于右边，则是A1且重或是B1且轻 ，再拿A1和标准球即可。

通过以上分析可以看出，按照上述规则选码时，要做到Ai＝1与Ai＝2(i＝2，3，…，n)的码数目相同是完全可能的。不过随着n的增大，选码的难度将越来越大。当n大到一定程度时，要在短时间内选出这样的码根本不可能。那么这个问题应该如何解决呢?
　　实际上，由于每次称量后均有一个判别过程，所以具体实现并不需要把每个环都严格按照最初的编码来进行称量，完全可以利用每次称量的判别结果将下一次的搜索范围缩小，就可进一步缩小称量范围。因此，我们要保证每次称量时天平两边小环数目相同，不必使最初的编码中Ai＝1与Ai＝2(i＝2，3，…，n)的码数目相同。因为从第2次称量开始，就可以利用前面称量判别出的普通环，来弥补最初的编码在这个要求上的漏洞。当然，这样就有一部分普通环节并不按照预先的编码来进行称量。不过这并没有关系，因为我们的目的仅仅是找出特殊环并判明轻重。
　　下面先给出具体的选码和称量步骤，然后再对其进行一些必要的数学证明。
　　
　　　　选码步骤如下：
　　
　　　　(1) 令Pn为所有n位三进制码的集合，根据A＝(A1，A2，…，An)的第1位A1＝0，A1＝1，A1＝2来将其分成3组Pn0、Pn1、Pn2，再从Pn0中删去A＝(0，0，…，0)，则Pn0中有3n－1－1个码，Pn1、Pn2中各有3n－1个码。
　　
　　　　(2) 从Pn1中取出(3n－1－1)/2个码。然后在Pn2中将已取出的Pn1中码的对称码删去，其余码取出，还应再删去1个，以保证A1＝1与A1＝2的码数目相同。同时，这些从Pn1和Pn2中选出的码还必须满足如下规则：
　　
　　　　a.在从Pn1和Pn2中选出的全部码中，若A2＝1与A2＝2的码都存在，则从Pn1和Pn2中选出的全部码中，A2＝1的最少数目与A2＝2的的最少数目均应为不小于(1+3n－2)/4的最小整数；
　　
　　　　b.在从Pn1和Pn2中选出的全部码中，若A2＝1(或A2＝2)的码不存在，则从Pn1和Pn2中选出的全部码中，A2＝2(或A2＝1)的码最多只能取(3n－1－1)/2个。
　　
　　　　(3)从 Pn0中任取(3n－1－1)/2个码，且其中无相互对称的码。
　　
　　　　经过选码，编码为A1＝0、A1＝1、A1＝2的环的数目均为(3n－1－1)/2个，各占环总数［(3n－1)/2］－1＝3×(3n－1－1)/2的1/3。
　　
　　　　称量步骤如下：
　　
　　　　(1)第1次将编码为A1＝1的环全部放在天平左边，将编码为A1＝2的环全部放在天平右边，编码为A1＝0的环全部不上天平。
　　
　　　　(2)根据第1次称量后的结果，我们可以判别出一部分环(至少是总数的1/3)是普遍环。于是第2次就可将搜索范围缩小到可能包含特殊环的那部分环中，在这些属于搜索范围的环中，将编码为A2＝1的环全放在天平的左边，编码为A2＝2的环全放在天平右边，编码为A2＝0的环全部不上天平。按此要求摆放后，若天平两边环数不等，就可在某边补放上已判别出的普通环以使其相等。
　　
　　　　说明1：选码步骤中的规则a和规则b已能保证，在第2次称量时，普通环的数目一定能够补足天平两边环数相等。后面将对其给予证明。
　　
　　　　(3)根据第2次称量后的结果，又可以判别一部分环是普通环。于是第3次就可将搜索范围进一步缩小。在这些可疑的环中，将编码为A3＝1的环全放在天平左边，编码为A3＝2的环全放在天平右边，编码为A3＝0的环全部不上天平。按此要求摆放后，若天平两边环数不等，就可在某边补放上已判别出的普通环以使其相等。
　　
　　　　说明2：若称量次数n≥3，则在按前述步骤进行的前提下，从第3次称量开始，每次称量时，由前面的称量判别出的普通环的数目已必定能够补足步骤中所述天平两边环数不等的情况。后面将其给予证明。
　　
　　其余步骤类同。
　　结论如下：最后一次称量结束后，得到称量结果的编码B，则在处于最后一次搜索的那些环中，必有一个小环的编码为A＝B或A＝B′，这个环就是特殊环。若其编码是A＝B，则特殊环较轻；若其编码是A＝B′，则特殊环较重。当然有时在称量过程中即可预先判出其轻重。在称量过程中，对于那些曾属于搜索范围的小环，在它们因被判别出是普通环，而从搜索范围中被剔除以前，都是严格按最初的编码进行称量的。所以，只有那些属于最后一次搜索范围的小环才是完全按最初的编码进行n次称量。因此，对于这些小环的编码而言，每个码仍满足唯一且无对称码的规定。所以根据前面已论证的理论，在这些环中，那个编码为A＝B或A＝B’的小环是特殊环。